Įkurtas 1943 m., muziejus buvo įsikūręs įvairiose vietose iki 1982 m., kai Ramón y Cajal gatvėje buvo atidaryta dabartinė vieta, kai meru buvo Enrique Escudero de Castro, nuo kurio ir kilo muziejaus pavadinimas. Jis įsikūręs virš prieš keletą metų atkasto vėlyvojo romėnų nekropolio. Be nekropolio, kuris, ko gero, yra labiausiai muziejui charakterį suteikiantis statinys, verta paminėti laidojimo epigrafijos kolekciją, vieną geriausių Ispanijoje. Ne mažiau svarbūs yra romėnų kasybos skyriai, kuriuose eksponuojami įvairūs to meto gaminiai, įrankiai ir indai, arba keramikos dirbiniai, daugiausia indai, liudijantys apie intensyvų prekybinį judėjimą, kuris nuo II a. pr. m. e. vyko uoste. Romėnų skulptūra taip pat turi gerų pavyzdžių, tarp kurių puikiu atlikimu išsiskiria vaiko su karūna portretas, kuris tikriausiai simbolizuoja aukštą imperatoriškosios šeimos orumą. Nuolatinė ekspozicija antrajame aukšte baigiama romėnų būstui ir prekybai skirtomis erdvėmis. Ji buvo atrasta ir iškasta 1967 m. Atradimo sukeltas susidomėjimas paskatino Kartagenos miesto tarybą apsvarstyti galimybę aplink šią vietą pastatyti naują muziejaus būstinę. Projektą įgyvendino tuometinis muziejaus direktorius architektas Pedro Antonio San Martín, kuris suprojektavo du aukštus aplink nekropolį, kaip žinome šiandien.
Be to, kad iš šio laikotarpio žinoma labai nedaug pavyzdžių, labiausiai stebina šiame nekropolyje esančių palaidojimų tipologinė įvairovė, datuojama IV a. pabaiga arba V a. po Kr. pradžia ir sutampanti su krikščionybės įvedimo laikotarpiu. Be pavienių kapų, čia yra stačiakampio ar pusapvalės formos tumulų struktūrų ir du panteonai.